review teoría del caos + la espiral de lorenz

Teoría del Caos, la teoría del revuelo
Voy a plantear una cuestión cuya discusión nos llevará de lleno a sumergirnos en el Universo del Caos: "El efecto mariposa".
A saber:
"Si hoy agita una mariposa sus alas en Barcelona, con su aleteo puede producir un huracán en Tokio el mes que viene."
Este concepto es el que se conoce como "Dependencia sensitiva de las condiciones iniciales" que es determinante y básico para comprender este mundo tan maravilloso, tan caótico y regular a la vez.
El 'efecto mariposa' ya lo tenemos en la literatura anglosajona:
Por un clavo, se perdió la herradura;
Por una herradura, se perdió un caballo;
Por un caballo, se perdió el jinete;
Por un jinete, se perdió la batalla;
Por una batalla, se perdió el reino.
Es un ejemplo radical, pero que se ajusta perfectamente a nuestro propósito y que gracias a Dios, no suele darse.
Tendemos a pensar que si se varían las condiciones iniciales de un sistema un poquito, el resultado final será básicamente el mismo, o por lo menos eso nos dice nuestra experiencia matemática al redondear un número de 3 a 2 decimales. Pero nada más lejos de la realidad. La aplicación de las matemáticas a fenómenos naturales no consiste en acarrear un decimal de menos en un par de operaciones sino en cientos de miles y/o millones de cálculos; es el efecto "bola de nieve".
Los sistemas dinámicos, son sistemas que varían con el paso del tiempo, tales como la teoría maltusiana de población y recursos, la meteorología, los seísmos, los movimientos que efectúa un chorro de café humeante al entrar en contacto con la leche de un taza (mecánica de fluidos), el giro impredecible de una noria de agua cuando su caudal es inusitadamente acelerado, la gran mancha de Júpiter, las fluctuaciones económicas de los precios, etc.
Es en los sistemas dinámicos donde podemos usar el término "caos" y donde una variación mínima de las condiciones iniciales supone un comportamiento totalmente distinto del esperado por parte del sistema. Es decir, que un sistema podrá ser caótico cuando su comportamiento sea impredecible. Entonces la pregunta es obvia:
Si el caos no puede predecir su comportamiento ¿qué puede hacer el caos por los sistemas dinámicos?
El caos es determinista al estudiar uno de estos sistemas, si se trata en su globalidad. No podrá predecir el estado futuro del mismo pero sí modelar su comportamiento general.
Al leer estas líneas, os habrán venido a la cabeza ideas como desorden, azar, complejidad, impredicibilidad, en resumen, lo que los científicos identifican por Caos.
Estos adjetivos y otros similares se irán transformando en vuestras mente, o al menos esa es la intención de esta web, y a través de un lento 'morphing' pasarán a convertirse en desorden ordenado, belleza, simplicidad compleja, ...
Estos sistemas pueden comportarse de diferentes formas, pero muchos de ellos tras suficientes iteraciones (repetición de un cálculo simple) de las funciones que los determinan su función tiende a estabilizarse en uno o más valores. Este conjunto de valores para los cuales la función f(x) se estabiliza cuando el número de iteraciones tiende a infinito, se denomina "atractor".

La espiral de Lorenz

El matemático Edward Lorenz usaba su ordenador Royal McBee para desentrañar la maraña matemática que él mismo había creado con sus doce ecuaciones para predecir el tiempo atmosférico en el Massachusetts Institute of Technology. Era el año 1960.
Su pasión por el pronóstico atmosférico le vino durante la 2ª Guerra Mundial. Tras su graduación en Matemática Pura en el Dartmouth College en 1938 participó en la contienda diagnosticando el tiempo para las fuerzas aéreas.Transcurrida la guerra, optó por dedicar sus esfuerzos matemáticos aplicándolos a la metereología.
La predicción del tiempo se debía regir por ecuaciones, al igual que las órbitas de los planetas, satélites y galaxias, quizá más complicadas pero ecuaciones al fin y al cabo. Para ello escogió 12 funciones, unas establecían el vínculo entre velocidad y viento, otras entre presión y temperatura y así unas cuantas variables más. No le promovía un interés meramente físico sino también matemático.
Su trabajo fue en boca en boca por el MIT, llegando a tal punto que se organizaban apuestas sobre los pronósticos que darían las ecuaciones de Lorenz.
Hojeando los rollos y rollos de papel con datos numéricos que escupía su impresora, Lorenz ideó un método para que el ordenador señalara cada minuto el paso de un día imprimiendo una hilera de números.
En 1961, Lorenz cansado de observar ese vaivén numérico salido de la impresora de su ordenador, intentó atajar partiendo de una sucesión anterior pero al traspasar los dígitos sólo tecleó 3 en vez de los 6 originales, esperando que el comportamiento no cambiaría.
Los resultados obtenidos trajeron de cabeza a Lorenz pues no eran los esperados y revisó el software y hardware hasta darse cuenta finalmente, que el error lo cometió al truncar el valor inicial de la función cambiando el input de 0,506127 a 0,506.
No creyó que una variación tan pequeña pudiera comportar un cambio tan radical de la función al cabo de unas cuantas iteraciones.

Había dado con "el efecto mariposa". Este redondeo insignificante era el aleteo de la mariposa; y el comportamiento anómalo, o digamos inesperado, de la función el huracán que se produciría el próximo mes en Tokio.

Cualquier pronóstico climatológico se deteriora rápidamente por culpa de un viento, de una entrada de aire caliente, por una bajada de presión, por una tormenta inesperada ..., ese error va creciendo geométricamente y la realidad al día siguiente no es la esperada sino otra totalmente distinta: donde haría sol, llueve; donde llovería, luce el sol; donde se podría ir a la playa, se encierran en el sótano hasta que pase el huracán; etc.

A su descubrimiento lo llamó Lorenz "Dependencia sensitiva de las condiciones iniciales" y con ello creó la base de una nueva ciencia: el Caos, ciencia que no resurgiría hasta bien pasados los años, cuando los colegas de Lorenz dejaron de ver su descubrimiento como simple distracción matemática y se cercioraron de la grandeza de su trabajo. Fue entonces, cuando el boom del caos se produjo en el status científico, y todos pretendían verlo, incluso en lugares donde no existe.

Lorenz animado por su descubrimiento, decidió comenzar a experimentar con sus resultados en el campo de las corrientes de fluidos y sus 12 fórmulas se vieron reducidas a 3 simples ecuaciones no lineales.

Las ecuaciones lineales expresan relaciones proporcionales y su representación gráfica siempre una recta, adoptando la forma f(x)= ax+b. Las no lineales no son tan simples e intervienen una serie de factores a veces en mayor y otras en menor medida como pueda ser el rozamiento, cuyo valor depende de la clase de firme, del peso y velocidad del móvil.

Sus 3 ecuaciones respondían al funcionamiento de una noria de agua cuyo suministro de agua dista de ser idóneo. El aparentemente sencillo comportamiento de tan simple sistema mecánico se transforma en sorprendentemente complicado cuando el suministro de agua supera al deseado y por los cajones de la noria no se desagua lo suficiente para superar la fricción y seguir con su movimiento y velocidad uniforme.

La velocidad de la noria aumenta y los cajones no se llenan por igual con lo cual llegará un momento que el peso de los cajones que faltan por llenarse vencerá la fricción y la rueda comenzará a girar en sentido contrario y seguirá repitiéndose este proceso de cambio de sentido pero sin una pauta determinada ni predecible. Tanto podrá cambiar 5 veces en 10 minutos como estar otros 10 minutos sin cambiar o cambiar 5 veces en los 3 minutos siguientes.
Esta aparente azarosidad, depende de:

# El aumento de la velocidad de giro de la rueda
# El caudal suministrado
# Reducción del tiempo de llenado de los cajones
# Los cajones que no se han llenado vencen a la velocidad de giro

Lorenz representó gráficamente los resultados obtenidos con sus 3 ecuaciones en una gráfica tridimensional, asignando el valor obtenido de cada ecuación a una de las 3 dimensiones del plano euclídeo.

Al ver el gráfico resultante, llamado en adelante "atractor de Lorenz", Lorenz se encontró otra vez con el efecto mariposa, concretamente con sus alas.
http://fractales.org
La línea de la gráfica no se tocaba jamás, el desorden era total pues ningún punto se repetía ya que no había intersecciones, pero se dislumbró un nuevo tipo de "desorden ordenado": el caos.

tripalium

Como punto introductorio al concepto de lo que es trabajo del servicio doméstico, es menester exponer que toda actividad del hombre encaminada a una función económica, o que produce este resultado sin aquel propósito, constituye TRABAJO.

Sin coincidencia plena, pero sin discrepancias importantes, el vocablo trabajo y sus próximos parientes el travail francés, el travaglio italiano y el trabalho portugues deriva de indudables voces latinas, con la idea de sujeción y de penoso. Para unos provino de trabs, trubis: Traba; porque el trabajo es la traba del hombre. Para la Academia Española, el origen es también latino; de tripalium, aparato para sujetar las caballerias, voz formada de tripalis, algo de tres palos.

El origen de la palabra trabajo nos remite a las torturas. Si bien en latín se habla de labor para referirse a esta ocupación (y de ahí proceden palabras tan conocidas como laboratorio o laborable), el término trabajo procede del vocablo latino tripalium. Este término no era ni más ni menos que un instrumento de tortura formado por tres palos con el que se castigaba a los criminales.

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(...)
Cuando un hombre empieza a aprender nunca sabe lo que va a encontrar. Su propósito es deficiente; su intención es vaga. Espera recompensas que nunca llegarán, pues no sabe nada de los trabajos que cuesta aprender.
“Pero uno aprende así, poquito a poquito, luego más y más. Y sus pensamientos se dan de topetazos y se hunden en la nada. Lo que se aprende no es nunca lo que uno creía. Y así se comienza a tener miedo. El conocimiento no es nunca lo que uno se espera. Cada paso del aprendizaje es un atolladero y el miedo que el hombre experimenta empieza a crecer sin misericordia, sin ceder. Su propósito se convierte en un campo de batalla.
“Y así tropezado con el primero de sus enemigos naturales: ¡el miedo! Un enemigo terrible: Traicionero y enredado con los cardos. Se queda oculto en cada recodo del camino, acechando, esperando. Y si el hombre aterrado en su presencia echa a correr, su enemigo habrá puesto fin a su búsqueda.”

-¿Que le pasa al hombre si corre por miedo?
-Nada le pasa, sólo que jamás aprenderá. Nunca llegará a ser hombre de conocimiento. Llegará a ser un maleante, o un cobarde cualquiera, un hombre inofensivo; asustado, de cualquier modo; será un hombre vencido. Su primer enemigo habrá puesto fin a sus ansias.
-¿Y que puede hacer para superar el miedo?
-La respuesta es muy sencilla. No debe correr. Debe desafiar a su miedo, y pese a él debe dar el siguiente paso en su aprendizaje, y el siguiente, y el siguiente. Debe estar lleno de miedo pero no debe detenerse. ¡Esa es la regla ! Y llega un momento en que su primer enemigo se retira. El hombre empieza a sentirse seguro de sí. Su propósito se fortalece. Aprender no es ya una tarea aterradora.
“Cuando llega ese momento gozoso, el hombre puede decir sin duda que ha vencido a su primer enemigo natural”.
-¿Ocurre de golpe don Juan, o poco a poco?.
-Ocurre poco a poco, y sin embargo el miedo se conquista rápido y de repente.
-¿Pero no volverá el hombre a tener miedo si algo nuevo le pasa?.
-No. Una vez que un hombre ha conquistado el miedo, está libre de él por el resto de su vida, porque a cambio del miedo a adquirido la claridad: una claridad de mente que borra el miedo. Para entonces, un hombre conoce sus deseos; sabe como satisfacer esos deseos. Puede prever los nuevos pasos del aprendizaje, y una claridad nítida lo rodea todo. El hombre siente que nada está oculto.
“Y así ha encontrado a su segundo enemigo: ¡la claridad! Esta claridad de mente, tan difícil de obtener, dispersa el miedo, pero también ciega.”
“Fuerza al hombre a no dudar nunca de sí. Le da la seguridad de que puede hacer cuanto se le antoje, porque todo lo que ve lo ve con claridad. Y tiene valor porque tiene claridad, y no se detiene en nada porque tiene claridad. Pero todo es un error; es como si viera algo claro pero incompleto. Si el hombre se rinde a esa ilusión de poder, ha sucumbido a su segundo enemigo y será torpe para aprender. Se apurará cuando debe ser paciente, o será paciente cuando debería apurarse. Y tonteará con el aprendizaje, hasta que termine incapaz de aprender nada más.
-¿Que pasa con un hombre derrotado en esa forma, don Juan?.¿Muere en consecuencia?.
-No, no muere. Su segundo enemigo nomás ha parado en seco sus intentos de hacerse hombre de conocimiento, en vez de eso, el hombre puede volverse un guerrero impetuoso volverá a transformarse en oscuridad y miedo. Será claro mientras viva, pero ya no aprenderá ni ansiará nada.
-Pero ¿Qué tiene que hacer para evitar la derrota?.
-Debe hacer lo que hizo con el miedo: debe desafiar su claridad y usarla solo para ver y esperar con paciencia y medir con tiento antes de dar otros pasos; debe pensar, sobre todo, que su claridad es casi un error. Y vendrá un momento en que comprenda que su claridad era solo un enemigo, y llegará una posición donde nada puede ya dañarlo. Esto no será un error ni tampoco una ilusión . No será solamente un punto delante de sus ojos. Ese será el verdadero poder.
“Sabrá entonces que el poder tanto tiempo perseguido es suyo por fin. Puede hacer con él lo que se le antoje.
Su aliado está a sus órdenes. Su deseo es la regla. Ve claro y parejo todo cuanto hay alrededor. Pero también ha tropezado con su tercer enemigo : ¡el poder!.
“El poder es el más fuerte de todos los enemigos. Y naturalmente, lo más fácil es rendirse; después de todo, el hombre es de veras invencible. El manda ; empieza tomando riesgos calculados y termina haciendo reglas, porque es el amo del poder.
“Un hombre en esta etapa apenas advierte que su tercer enemigo se cierne sobre él. Y de pronto, sin saber, habrá sin duda perdido la batalla. Su enemigo lo habrá transformado en un hombre cruel, caprichoso.”
-¿Perderá su poder?.
-No, nunca perderá su claridad ni su poder.
-¿Entonces qué lo distinguirá de un hombre de conocimiento?.
-Un hombre vencido por el poder muere sin saber realmente como manejarlo. El poder es sólo una carga sobre su destino. Un hombre así no tiene dominio de sí mismo, ni puede decir cómo ni cuándo usar ese poder.
- La derrota a manos de cualquiera de estos enemigos ¿es definitiva?.
-Claro que es definitiva. Cuando uno de estos enemigos vence a un hombre, no hay nada que hacer.
-¿Es posible, por ejemplo, que el hombre vencido por el poder vea su error y se corrija?
-No. Una vez que un hombre se rinde, está acabado.
-¿Pero si el poder lo ciega temporalmente y luego él lo rechaza?.
-Eso quiere decir que la batalla sigue. Quiere decir que todavía está tratando de volverse hombre de conocimiento. Un hombre está vencido sólo cuando ya no hace la lucha y se abandona.
-Pero entonces don Juan, es posible que un hombre se abandone al miedo durante años, pero finalmente lo conquiste.
-No, eso no es cierto. Si se rinde al miedo nunca lo conquistará, porque se asustará de aprender y no volverá a hacer la prueba. Pero si se trata de aprender durante años, en medio de su miedo, terminará conquistándolo porque nunca se habrá abandonado a él en realidad.
-¿Cómo puede vencer a su tercer enemigo, don Juan?.
-Tiene que desafiarlo, con toda intención. Tiene que llegar a darse cuenta de que el poder que aparentemente ha conquistado no es nunca suyo en verdad. Debe tenerse a raya a todas horas, manejando con tiento y con fe todo lo que ha aprendido. Si puede ver que, sin control sobre si mismo, la claridad y el poder son peores que los errores llegará a un punto en el que todo se domina. Entonces sabrá cómo y cuándo usar su poder. Y así habrá vencido a su tercer enemigo.
“El hombre estará, para entonces, al fin de su travesía por el camino del conocimiento , y casi sin advertencia tropieza con su último enemigo: ¡la vejez! Este enemigo es el más cruel de todos, el único al que no se puede vencer por completo, el enemigo al que solamente podrá ahuyentar un instante.
“Este es el tiempo en que un hombre,
ya no tiene miedos, ya no tiene claridad impaciente; un tiempo en que todo su poder está bajo control, pero también el tiempo en el que siente un deseo constante de descansar. Si se rinde por entero a su deseo de acostarse y olvidar, si se arrulla en la fatiga habrá perdido el último asalto, y su enemigo lo reducirá a una débil criatura vieja. Su deseo de retirarse vencerá toda su claridad, su poder y su conocimiento.
“Pero si el hombre se sacude el cansancio y vive su destino hasta el final, puede entonces ser llamado hombre de conocimiento, aunque sea tan sólo por esos momentos en que logra ahuyentar al último enemigo, el enemigo invencible. Esos momentos de claridad, poder y conocimiento son suficientes.”